そもそも、賃貸に手付金というものは存在しないと聞いたことがあります。契約書をもらうために手付金が必要になることはあるのでしょうか?
返金に応じないことは違法ではないのでしょうか?
具体的には宅建業法第47条で「業務に関する禁止事項」が定められており、その施行規則の中に
「宅地建物取引業者の相手方等が契約の申し込みの撤回を行うに際し、既に受領した預り金を返還することを拒むこと。」
(→宅地建物取引業法施行規則 第16条の12第2号)
という条文があります。
民法の一般的な契約は原則で言えば、「当事者間の意思表示の合致」で成立するようですが、宅建業者が業務を行うにあたっては宅建業法等で様々な規制があり、より厳格に法律で縛られています。そして、上記法律を厳守している不動産屋が多い一方で、質問者様が利用された不動産会社のように手付金等の返金トラブルはネットの書き込みにもたくさんあり、こちらのいえらぶさんの「いえらぶコラム」の「2021.01.15」にも
(→//www.ielove.co.jp/column/contents/01526/)
「まれに、キャンセルすると手付金が戻ってこない場合があります。」「手付金に関しては不動産会社によって取り決め方はさまざまですので、手続き申し込み時にしっかり確認しておきましょう。」と、手付金の返金拒否が場合によっては認められると取られるような意見も書かれています。
不動産の賃貸物件はごく一部の物件を除けば、他のどの不動産屋でも申し込みができると思います。自分には手付金等の返金を拒否できるという上記のような意見や法的な根拠(抜け穴のようなものがある?)はわからないですが、法律の正当性を主張してもトラブルになるだけかもしれませんので、説明の段階で疑問に思われるのであれば、別の不動産屋でも話を聞いてみて判断された方がいいように思います。
※追記
賃貸契約の成立がどの時点でなのかは判例でも争いがあります。民法上の契約の成立は双方の合意なので、口頭でも可能で文書の交付を必要としていません。賃貸契約に関しても店舗など条件を相互につめる契約の多くは契約書をもって合意とする判例が多いようですが、通常の借家ではそのまま適用されるか不明です。上記内容は契約が成立前の場合の話ですので、注意下さい。